Quaternions and rotations: applications to Minkowski's four-vectors, electromagnetic waves and polarization optics
Quaternions et rotations : applications aux quadrivecteurs de Minkowski, aux ondes électromagnétiques et à la polarisation de la lumière
Résumé
Rotations on the 3-dimensional Euclidean vector-space can be represented by real quaternions, as was shown by Hamilton. Introducing complex quaternions allows us to extend the result to elliptic and hyperbolic rotations on the Minkowski space, that is, to proper Lorentz rotations. Another generalization deals with complex rotations on the complex-quaternion algebra. Appropriate quaternionic expressions of differential operators lead to a quaternionic form of Maxwell equations; the quaternionic expressions of an electromagnetic-field in two Galilean frames in relative motion are linked by a complex rotation; some relativistic invariants of electromagnetic waves are deduced, including their polarization states and their degrees of polarization. Quaternionic forms of proper Lorentz rotations are applied to polarization optics along with illustrative examples. Equivalences between relativistic effects and crystal optics effects are mentioned. A derivation of the triangle inequality on the Minkowski space is given; the inequality is illustrated by some properties of partially polarized lightwaves.
Comme l'a montré Hamilton, les rotations de l'espace euclidien de dimension 3 se représentent par des quaternions réels. L'introduction de quaternions complexes permet d'étendre cette propriété aux rotations elliptiques et aux rotations hyperboliques de l'espace de Minkowski, c'est-à-dire aux rotations propres de Lorentz. Une autre généralisation concerne les rotations complexes opérant sur les quaternions complexes. Les équations de Maxwell sont exprimées sous forme quaternionienne à l'aide d'opérateurs différentiels quaternioniens ; les quaternions représentant le champ électromagnétique dans deux référentiels galiléens sont reliés par une rotation complexe ; on en déduit des invariants relativistes des ondes électromagnétiques, dont leur polarisation et leur degré de polarisation. Les formes quaternioniennes des rotations propres de Lorentz s'appliquent à la représentation de la polarisation de la lumière, illustrée ici par des exemples. On mentionne des équivalences entre des effets relativistes et des propriétés d'optique cristalline. On démontre l'inégalité triangulaire sur l'espace de Minkowski et l'illustre par les propriétés des ondes partiellement polarisées.
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